設函數
.
（1）若
,試求函數
的單調區間；
（2）過坐標原點
作曲線
的切線，證明:切點的橫坐標為1；
（3）令
，若函數
在區間（0，1］上是減函數，求
的取值范圍.
（1）的減區間為
,增區間
（2）導數的幾何意義的運用，理解切線的斜率即為該點的導數值既可以得到求證。
（3）
解析試題分析：解: （1）時,
1 分
3分
的減區間為,增區間 5分
（2）設切點為
，
切線的斜率
，又切線過原點
7分
滿足方程
，由
圖像可知
有唯一解
，切點的橫坐標為1； -8分
或者設
,
,且
,方程有唯一解 -9分
（3）
，若函數在區間（0，1］上是減函數，
則
，所以
---（*） 10分
若，則
在
遞減，
即不等式
恒成立 11分
若
,
在上遞增,
,即
,
上遞增,
這與
,矛盾 13分
綜上所述, 14分
解法二: ，若函數在區間（0，1］上是減函數，
則
，所以 10分
顯然,不等式成立
當
時,
恒成立 11分
設
設
在
上遞增,
所以
12分在上遞減,
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
的圖象在點
處的切線斜率為
．
（Ⅰ）求實數
的值；
（Ⅱ）判斷方程
根的個數，證明你的結論；
（Ⅲ）探究：是否存在這樣的點
，使得曲線
在該點附近的左、右的兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側？若存在，求出點A的坐標；若不存在，說明理由．
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．
的單調區間；
,若在
上至少存在一點
，使得
成立，求
的范圍．
（
），其圖像在點（1，
）處的切線方程為
.
,
的值；
的單調區間和極值；
在區間[-2,5]上的最大值.
，
，其中
為實數.
在
上是單調減函數，且
在
上是單調增函數，試求
.
的斜率為負數時，求
.
在點
處與直線
相切，求
與
的值.
，當
時，有極大值
；
的值；
的極小值。
（e為自然對數的底數）．
的單調增區間；
≥
的解集為M，且集合
，求實數t的取值范圍．