Question

設函數f（x）=|x-2a|+|x+1|，a∈R．
（1）當a=1時，解不等式f（x）＜5；
（2）若存在x_o∈R，使得f（x_o）＜3，成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）運用函數的零點分區間，討論當x≥2時，當x≤-1時，當-1＜x＜2時，化簡不等式解得，最后求并集即可；
（2）由題意知這是一個存在性的問題，須求出不等式左邊的最小值，可運用絕對值不等式的性質可得最小值，再令其小于3，即可解出實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=|x-2|+|x+1|，
當x≥2時，f（x）＜5，即為（x-2）+（x+1）＜5，即x＜3成立，則有2≤x＜3；
當x≤-1時，f（x）＜5即為（2-x）-（1+x）＜5，即x＞-2，解得-2＜x≤-1；
當-1＜x＜2時，f（x）＜5即為2-x+（x+1）＜5，即3＜5成立，則有-1＜x＜2．
則原不等式的解集為（-2，-1]∪∪（-1，2）∪[2，3）即為（-2，3）；
（2）由絕對值不等式的性質可得|x-2a|+|x+1|≥|（x-2a）-（x+1）|=|2a+1|，
即有f（x）的最小值為|2a+1|．
若存在x_o∈R，使得f（x_o）＜3成立，
可得|2a+1|＜3，故有-3＜2a+1＜3，求得-2＜a＜1，
則a的取值范圍為（-2，1）．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法和絕對值不等式的性質，考查不等式的存在性問題，注意與恒成立問題的區別，屬于中檔題和易錯題．