Question

已知函數f(x)＝x²－alnx(a∈R)．
(1)若函數f(x)的圖象在x＝2處的切線方程為y＝x＋b，求a，b的值；
(2)若函數f(x)在(1，＋∞)上為增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）a＝2，b＝－2ln2
（2）(－∞，1]

解：(1)因為f′(x)＝x－ (x>0)，
又f(x)在x＝2處的切線方程為y＝x＋b，斜率為1，
所以
解得a＝2，b＝－2ln2．
(2)若函數f(x)在(1，＋∞)上為增函數，
則f′(x)＝x－≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即a≤x²在(1，＋∞)上恒成立．
所以a≤1．檢驗當a＝1時滿足題意．
故a的取值范圍是(－∞，1]．