Question

已知函數f(x)＝(ax＋1)e^x.
(1)求函數f(x)的單調區間；
(2)當a>0時，求函數f(x)在區間[－2,0]上的最小值．

Answer 1

（1）見解析
（2）當a>1時，f(x)在區間[－2,0]上的最小值為－a·；
當0<a≤1時，f(x)在區間[－2,0]上的最小值為.

解：依題意，函數的定義域為R，
f′(x)＝(ax＋1)′e^x＋(ax＋1)(e^x)′＝e^x(ax＋a＋1)．
(1)①當a＝0時，f′(x)＝e^x>0，
則f(x)的單調遞增區間為(－∞，＋∞)；
②當a>0時，由f′(x)>0，解得x>－，
由f′(x)<0，解得x<－，
則f(x)的單調遞增區間為(－，＋∞)，
f(x)的單調遞減區間為(－∞，－)；
③當a<0時，由f′(x)>0，解得x<－，
由f′(x)<0解得，x>－，
則f(x)的單調遞增區間為(－∞，－)，
f(x)的單調遞減區間為(－，＋∞)．
(2)①當時，)上是減函數，
在(－，0)上是增函數，
則函數f(x)在區間[－2,0]上的最小值為f(－)＝－a·；
②當時，即當0<a≤1時，f(x)在[－2,0]上是增函數，則函數f(x)在區間[－2,0]上的最小值為f(－2)＝.
綜上，當a>1時，f(x)在區間[－2,0]上的最小值為－a·；
當0<a≤1時，f(x)在區間[－2,0]上的最小值為.