Question

18．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx．
（1）求函數f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；
（2）當x∈[1，+∞），比較f（x）與g（x）=$\frac{2}{3}$x³的大�。�

Answer 1

分析 （1）依題意，可得f′（x）=x+$\frac{1}{x}$＞0，故函數f（x）在[1，e]上單調遞增，從而可求函數f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx-$\frac{2}{3}$x³，利用導數法可得F（x）在區間（1，+∞）是減函數，從而可比較f（x）與g（x）=$\frac{2}{3}$x³的大小．

解答 解：（1）∵x＞0，∴f′（x）=x+$\frac{1}{x}$＞0，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx在（0，+∞） 上是增函數，∴函數f（x）在[1，e]上單調遞增，
∴f（x）_max=f（e）=$\frac{1}{2}$e²+1，f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$．（5分）
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx-$\frac{2}{3}$x³，
F′（x）=x+$\frac{1}{x}$-2x²=$\frac{{x}^{2}+1-{2x}^{3}}{x}$=$\frac{（1-x）（{2x}^{2}+x+1）}{x}$，
當0＜x＜1時，F′（x）＞0；當x＞1，F′（x）＜0；
∴F（x）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）是減函數；
F（x）極大值為F（x）的最大值，F（x）_max=F（1）=$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{3}$＜0；
∴當x∈[1，+∞）時，F（x）＜0，即f（x）＜g（x）．（12分）

點評 本題考查利用導數研究閉區間上函數的最值，考查函數思想與運算求解能力，屬于中檔題．