Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數，對任意的x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若f（5）=2，則f（2009）=

 

．

Answer 1

考點：函數的周期性,函數的值

專題：函數的性質及應用

分析：本題利用條件（x+6）=f（x）+f（3），取x=-3，得到f（3）=0，則有f（x+6）=f（x），得到函數f（x）是周期函數，再將f（2009）轉化為f（5），從而求出f（2009）的值，得到本題結論．

解答： 解：∵對任意的x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3），
∴取x=-3，
f（-3+6）=f（-3）+f（3），
∴f（3）=0，
∴對任意的x∈R，都有f（x+6）=f（x），
∴T=6．
∴f（2009）=f（334×6+5）=f（5）=2
故答案為：2．

點評：本題考查了函數的周期性、奇偶性和抽象函數的性質研究，本題難度不大，屬于基礎題．