Question

已知函數f（x）=sin（ωx+φ）+b（ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

，b∈R）在一個周期內的部分對應值如下表：

x	- π 4	0	π 12	π 4	π 2	3π 4
y	0	1	3 2	2	1	0

（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）設點A（

π

4

，0），B（-

π

4

，0），對于函數f（x）圖象上的點P（x₁，f（x₁））（-

π

4

＜x＜

π

4

），若在函數f（x）的圖象上存在點Q，滿足

PQ

+

AB

=0，求出點Q的坐標．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（Ⅰ）由表格給出的信息知T=π，從而可求得ω=2，再由表中各點均在圖象上，代入可得φ的值，b的值，于是可求得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由已知求得

AB

，

PQ

的坐標，代入已知P點的坐標，即可求得點Q的坐標．

解答： 解：（Ⅰ）由表格給出的信息可以知道，函數f（x）的周期為T=

3π

4

-（-

π

4

）=π，
∴ω=

2π

π

=2．
由sin（2×（-

π

4

）+φ）+b=0，可得：b=cosφ…①
由sin（2×0+φ）+b=1，可得sinφ=b-1…②
由sin（2×

π

4

+φ）+b=2，可得cosφ=2-b…③
由①②可解得：b²+（b-1）²=1，從而解得：b=1或b=0
∵b=0時，由③可得cosφ=2，故舍去，
∴b=1．
∴sinφ=0，cosφ=1，-

π

2

＜φ＜

π

2

，
∴φ=0．
∴函數f（x）的解析式為：f（x）=sin2x+1．
（Ⅱ）∵點P的坐標為：（x₁，f（x₁））（-

π

4

＜x＜

π

4

），點A的坐標為：（

π

4

，0），B的坐標為：（-

π

4

，0），
∴

AB

=（-

π

2

，0）
∵

PQ

+

AB

=0，
∴

PQ

=（

π

2

，0），
∴點Q的坐標為：（x₁+

π

2

，f（x₁））．

點評：本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，平面向量及應用，三角函數的圖象與性質，屬于中檔題．