Question

若不等式x²-2mx+2m+1＞0對0≤x≤1的所有實數x都成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質,函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：首先對提議進行轉換，考慮二次函數的對稱軸和已知區間之間的關系進行分類討論，最后求出參數的取值范圍．

解答： 解：設函數f（x）=x²-2mx+2m+1
所以函數是開口方向向上，對稱軸為x=m的拋物線．
由于f（x）=x²-2mx+2m+1在0≤x≤1的所有實數x對f（x）＞0都成立，
所以①當m＜0時，只需f（0）＞0成立即可．
即：2m+1＞0
解得：m＞-

1

2

所以：-

1

2

＜m＜0
②當0≤m≤1時，只需滿足f（m）＞0即可．
即：m²-2m²+2m+1＞0
解得：1-

2

≤m≤1+

2

所以：0≤m≤1
③當m＞1時，只需滿足f（1）＞0即可．
即：2＞0恒成立
所以：m＞1
綜上所述：m的取值范圍為：m＞-

1

2

點評：本題考查的知識要點：一元二次不等式和二次函數之間的關系，分類討論問題在題中的應用，屬于基礎題型．