Question

16．設$f（x）=2cos（ωx-\frac{π}{6}）sinωx-\frac{1}{2}cos（2ωx+π）$，其中ω＞0．
（1）求函數y=f（x）的值域；
（2）若y=f（x）在區間$[{-\frac{3π}{4}，\frac{π}{2}}]$上為增函數，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結合三角函數的圖象和性質，即得到f（x）的值域．
（2）將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；在區間$[{-\frac{3π}{4}，\frac{π}{2}}]$上為增函數，即可ω的范圍，可得ω最大值．

解答 解：設$f（x）=2cos（ωx-\frac{π}{6}）sinωx-\frac{1}{2}cos（2ωx+π）$，其中ω＞0．
化簡可得：f（x）=2sinωxcosωxcos$\frac{π}{6}$+2sin²ωxsin$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$cos2ωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+（$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$cos2ωx）+$\frac{1}{2}$cos2ωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$
∵sin2ωx∈[-1，1]
∴f（x）∈$[{\frac{{1-\sqrt{3}}}{2}，\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}}]$
即函數f（x）值域是$[{\frac{{1-\sqrt{3}}}{2}，\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}}]$．
（2）由（1）可得f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$
∵y=f（x）在區間$[{-\frac{3π}{4}，\frac{π}{2}}]$上為增函數
∴-$\frac{3π}{4}×2ω≥-\frac{π}{2}+2kπ$且$2ω×\frac{π}{2}≤\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z）
解得：$ω≤\frac{1}{3}-\frac{4}{3}k$
∵ω＞0．
∴${ω_{max}}=\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．