Question

9．設函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-a，x≤1}\\{lo{g}_{a}x，x＞1}\end{array}\right.$（a＞0，且a≠1）．
①若a=$\frac{3}{2}$，則函數f（x）的值域為（-$\frac{3}{2}$，+∞）；
②若f（x）在R上是增函數，則a的取值范圍是[2，+∞）．

Answer 1

分析 （1）根據指數函數和對數函數的性質，分別求其值域，再求并集即可，
（2）由題意可得a的不等式組，解不等式組可得．

解答 解：（1）當a=$\frac{3}{2}$時，若x≤1，則f（x）=2^x-$\frac{3}{2}$，則其值域為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
若x＞1，f（x）=log${\;}_{\frac{3}{2}}$x，則其值域為（0，+∞），
綜上所述函數f（x）的值域為（-$\frac{3}{2}$，+∞），
（2）∵f（x）在R上是增函數，
∴a＞1，
此時f（x）=2^x-a的最大值為2-a，f（x）=log_ax＞0，
∴2-a≤0，
解得a≥2，
故a的取值范圍為[2，+∞），
故答案為：（1）：（-$\frac{3}{2}$，+∞），（2）：[2，+∞）

點評 本題考查分段函數的單調性，由題意得出a的不等式組是解決問題的關鍵，屬基礎題．