Question

17．已知函數f（x）=x³+bx²+cx-1當x=-2時有極值，且在x=-1處的切線的斜率為-3．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）在區間[-1，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）根據函數f（x）在x=-2處有極值，且在x=-1處切線斜率為-3，列出方程組；
（2）利用導數求出函數的單調區間，即可求出函數的最大值與最小值；

解答 （1）f'（x）=3x²+2bx+c
依題意得$\left\{\begin{array}{l}{f'（-2）=12-4b+c=0}\\{f'（-1）=3-2b+c=-3}\end{array}\right.$  解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=0}\end{array}\right.$
∴函數f（x）的解析式為f（x）=x³+3x²-1．
（2）由（1）知f'（x）=3x²+6x．令f'（x）=0，
解得x₁=-2，x₂=0
列表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，2）	2
f'（x）		-		+
f（x）	1		-1		19

從上表可知，f（x）在區間[-1，2]上的最大值是19，最小值是-1．

點評 本題主要考查了利用導數求函數的單調性，切線斜率以及函數的最值問題，屬基礎題．