Question

已知向量=（2cosx，2sinx），=，函數f（x）=•，（a為常數）．
（1）求函數f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）若函數g（x）的圖象關于y軸對稱，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知對任意實數x₁，x₂，都有成立，當且僅當x₁=x₂時取“=”．求證：當時，函數g（x）在（-∞，+∞）上是增函數．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中向量=（2cosx，2sinx），=，函數f（x）=•，我們可以求出函數f（x）的解析式，進而根據余弦型函數的對稱性得到函數f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）由（1）中函數f（x）的解析式及可得函數g（x）的解析式，根據函數g（x）的圖象關于y軸對稱，可得a值，進而根據函數的周期，利用分組求和法可得g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3））∵已知對任意實數x₁，x₂，都有成立，可證得當時，當x₁＜x₂時，恒有g（x₁）＜g（x₂）．進而根據函數單調性的定義可得，當時，函數g（x）在（-∞，+∞）上是增函數．
解答：解：（1）∵向量=（2cosx，2sinx），=，
又∵f（x）=•，
∴
=． …（4分）
由，得，
即函數f（x）的對稱軸方程為．…（6分）
（2）由（1）知
∵函數g（x）的圖象關于y軸對稱，
∴函數g（x）是偶函數，即a=0．
故…（8分）
又函數g（x）的周期為6，
∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）=6．
∴g（1）+g（2）+g（3）…+g（2011）=2010．  …（11分）
（3）∵已知對任意實數x₁，x₂，都有成立
∴對于任意x₁，x₂且x₁＜x₂，由已知得．
∴=
∵，
∴
即當x₁＜x₂時，恒有g（x₁）＜g（x₂）．
所以當時，函數g（x）在（-∞，+∞）上是增函數．…（16分）
點評：本題考查的知識點是余弦函數的對稱性，函數的單調性的性質，三角函數的化簡求值，三角函數的周期性及其求法，其中求出函數f（x）的解析式及函數g（x）的解析式是解答本題的關鍵．