Question

（2012•濟南二模）已知向量

m

=（2cosωx，-1），

n

=（sinωx-cosωx，2），函數f（x）=

m

•

n

+3的周期為π．
（Ⅰ） 求正數ω；
（Ⅱ） 若函數f（x）的圖象向左平移

π

8

，再橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的

2

倍，得到函數g（x）的圖象，求函數g（x）的單調增區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數的恒等變換化簡f（x）的解析式為

2

sin(2ωx-

π

4

)，根據周期求出ω的值．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知：f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)，再根據y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律可得 g（x）=

2

•

2

sin[2(x+

π

8

)-

π

4

]=2sin2x，由2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，k∈Z，求得x的范圍，即可得到函數g（x）的單調增區間．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

m

•

n

+3=（2cosωx，-1）•（sinωx-cosωx，2）+3  …（1分）
=2cosωx（sinωx-cosωx）+1  …（2分）
=2sinωxcosωx-2cos²ωx+1  …（3分）
=sin2ωx-cos2ωx  …（4分）
=

2

sin(2ωx-

π

4

)． …（5分）
∵T=π，且ω＞0，∴ω=1．…（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知：f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)，…（7分）
y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律可得 g（x）=

2

•

2

sin[2(x+

π

8

)-

π

4

]=2sin2x． …（9分）
由2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，k∈Z；…（10分）
解得kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

，k∈Z；…（11分）
∴函數g（x）的單調增區間為[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，k∈Z．…（12分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的單調增區間，y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，屬于中檔題．