Question

（2012•濟(jì)南二模）如圖，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=

1

2

AP=2，D是AP的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、CB的中點(diǎn)，將△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD．

（1）求證：平面PCD⊥平面PAD；
（2）求二面角G-EF-D的大小；
（3）求三棱椎D-PAB的體積．

Answer 1

分析：（1）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥CD，根據(jù)CD⊥AD，可得CD⊥平面PAD，利用面面垂直的判定，可得平面PCD⊥平面PAD；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面EFG的法向量

n

=（1，0，1），平面PCD的一個(gè)法向量

DA

=（1，0，0），利用向量的夾角公式，可得二面角G-EF-D的平面角；
（3）利用等體積轉(zhuǎn)化，可求三棱椎D-PAB的體積．

解答：（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PD⊥CD…（1分）
∵CD⊥AD，PD∩AD=D
∴CD⊥平面PAD…（2分）
∵CD?平面PCD
∴平面PCD⊥平面PAD…（3分）
（2）解：如圖以D為原點(diǎn)，以

DA

，

DC

，

DP

為方向向量建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則G（1，2，0），E（0，1，1），F(xiàn)（0，0，1）

EF

=（0，-1，0），

EG

=（1，1，-1）…（5分）
設(shè)平面EFG的法向量為

n

=（x，y，z）
∴

n • EF =0 n • EG =0

，∴

-y=0 x+y-z=0

，∴

x=z y=0

．
取

n

=（1，0，1）…（6分）
平面PCD的一個(gè)法向量，

DA

=（2，0，0）…（7分）
∴cos＜

DA

，

n

＞=

DA • n

| DA |•| n |

=

2

2 2

=

2

2

…（8分）
結(jié)合圖知二面角G-EF-D的平面角為45°…（9分）
（3）解：VD-PAB=VP-DAB=

1

3

S△ABD•PD=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直，考查面面角，考查三棱錐體積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直的判定定理，正確運(yùn)用空間向量解決面面角問(wèn)題，屬于中檔題．