Question

已知向量

OA

=a=(

2

cosα，

2

sinα)，

OB

=b=（2cosβ，2sinβ），其中O為坐標原點，且

π

6

≤α＜

π

2

＜β≤

5π

6

．
（1）若

a

⊥（

b

-

a

），求β-α的值；
（2）當

a

•（

b

-

a

）取最小值時，求△OAB的面積S．

Answer 1

分析：（1）兩個向量垂直的充要條件是這兩個向量的數量積為0，將

a

和

b

-

a

用坐標表示，求其數量積，再倒用兩交差的余弦公式即可
（2）由由（1）知

a

•(

b

-

a

)=2

2

cos(β-α)-2而0＜β-α≤

2

3

π，當β-α=

2

3

π時，

a

•(

b

-

a

)取最小值，從而△OAB的面積為 S=

1

2

|

OA

|•|

OB

|sin

2π

3

，求模代入即可．

解答：解：（1）由

a

⊥(

b

-

a

)得

a

•(

b

-

a

)=0
即

a

•

b

-(

a

)2=0
又|

a

|=

2

，|

b

|=2，＜

a

，

b

＞=β-α∴2

2

•cos(β-α)-2=0cos(β-α)=

2

2

∵

π

6

≤α＜

π

2

＜β≤

5

6

π∴β-α=

π

4

…（6分）
（2）由（1）知

a

•(

b

-

a

)=2

2

cos(β-α)-2∵

π

6

≤α＜

π

2

＜β≤

5

6

π∴0＜β-α≤

2

3

π
當β-α=

2

3

π時，

a

•(

b

-

a

)取最小值
此時S△OAB=

1

2

2

•2•sin

2

3

π=

6

2

…（12分）

點評：本題綜合考查了向量數量積的運算性質和三角變換公式的應用，解題時要耐心細致，認真觀察．