Question

已知向量

OA

=

a

=(cosα，sinα)，

OC

=

c

=(0，2)

OB

=

b

=(2cosβ，2sinβ)，其中O為坐標原點，且0＜α＜

π

2

＜β＜π
（1）若

a

⊥(

b

-

a

)，求β-α的值；
（2）若

OB

•

OC

=2，

OA

•

OC

=

3

，求△OAB的面積S．

Answer 1

分析：（1）兩個向量垂直的充要條件是這兩個向量的數量積為0，將

a

和

b

-

a

用坐標表示，求其數量積，再倒用兩交差的余弦公式即可
（2）由

OB

•

OC

=2，

OA

•

OC

=

3

，可得OA⊥OB，∴△OAB的面積為S=

1

2

|

OA

|•|

OB

|，求模代入即可

解答：解：（1）∵

a

⊥(

b

-

a

)∴

a

•(

b

-

a

)=0
∴2cosαcosβ+2sinαsinβ-1=0
即cos(α-β)=

1

2

∵0＜α＜

π

2

＜β＜π∴0＜β-α＜π∴β-α=

π

3

（2）∵

OB

•

OC

=2，

OA

•

OC

=

3

∴sinβ=

1

2

sinα=

3

2

∴cosβ=

3

2

cosα=

1

2

∴

OA

•

OB

=2cosαcosβ+2sinαsinβ=0
∴

OA

⊥

OB

∴S=

1

2

|

OA

|•|

OB

|=

1

2

×1×2=1

點評：本題綜合考查了向量數量積的運算性質和三角變換公式的應用，解題時要耐心細致，認真觀察