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已知向量
a
=(2cosωx,cos2ωx),
b
=(sinωx,1)(其中ω>0),令f(x)=
a
• 
b
,且f(x)的最小正周期為π.
(1)求f(
π
4
)
的值;
(2)寫出f(x)在[-
π
2
π
2
]
上的單調遞增區間.
分析:(1)把向量
a
=(2cosωx,cos2ωx),
b
=(sinωx,1)代入f(x)=
a
• 
b
,利用二倍角公式和兩角和的正弦函數化為:
2
sin(2ωx+
π
4
)
,根據周期求出ω,然后求解f(
π
4
)
的值;
(2)利用正弦函數的單調增區間求出函數f(x)的單調增區間,選擇適當的k值求出f(x)在[-
π
2
π
2
]
上的單調遞增區間.
解答:解:(1)f(x)=
a
b
=2cosωxsinωx+cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx
=
2
sin(2ωx+
π
4
)

∵f(x)的最小正周期為π,∴ω=1.
f(x)=
2
sin(2x+
π
4
)

f(
π
4
)=
2
sin(2×
π
4
+
π
4
)=1
.(6分)

(2)∵f(x)=
2
sin(2x+
π
4
)

∴當-
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
π
2
+2kπ(k∈Z)

即-
8
+kπ≤x≤
π
8
+kπ
(k∈Z)時,f(x)單調遞增,
x∈[-
π
2
π
2
]

∴f(x)在[-
π
2
π
2
]
上的單調遞增區間為[-
8
π
8
]
.(13分)
點評:本題是基礎題,考查向量的數量積,二倍角和兩角和的正弦函數的化簡,三角函數的單調增區間的求法,考查計算能力,是常考題型.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知向量
a
=(2cosα,2sinα),
b
=(3cosβ,3sinβ),若向量
a
b
的夾角為60°,則直線xcosα-ysinα+
1
2
=0
與圓(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=
1
2
的位置關系是(  )
A、相交B、相切
C、相離D、相交且過圓心

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知向量
.
a
=( 2cosα,2sinα),
.
b
=( 3sosβ,3sinβ),向量
.
a
.
b
的夾角為30°則cos(α-β)的值為
 

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已知向量
a
=(2cosα,2sinα),
b
=(3cosβ,3sinβ),若
a
b
的夾角為60°,則直線2xcosα-2ysinα+1=0與圓(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=1的位置關系是(  )

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a
=(2cosα,2sinα),
b
=(3cosβ,3sinβ),
a
b
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