Question

8．若x，y∈R⁺，$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}=\frac{1}{2}$，則xy的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． 9
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 可令x+1=u，y+1=v，（u＞1，v＞1），變形可得xy=（u-1）（v-1）=uv+1-u-v=2（u+v）（$\frac{1}{u}$+$\frac{1}{v}$）+1，運用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：可令x+1=u，y+1=v，（u＞1，v＞1），
可得x=u-1，y=v-1，
即有$\frac{1}{u}$+$\frac{1}{v}$=$\frac{1}{2}$，
即uv=2（u+v），
則xy=（u-1）（v-1）=uv+1-u-v
=2（u+v）+1-u-v=u+v+1
=2（u+v）（$\frac{1}{u}$+$\frac{1}{v}$）+1
≥2•2$\sqrt{uv}$•2$\sqrt{\frac{1}{uv}}$+1=8+1=9，
當且僅當u=v=4，即x=y=3時，取得最小值9．
故選：B．

點評 本題考查基本不等式的運用：求最值，注意運用換元法和等價變形，以及滿足的條件：一正二定三等，考查運算能力，屬于中檔題．