Question

12．在如圖所示的圓錐中，OP是圓錐的高，AB是底面圓的直徑，點C是弧AB的中點，E是線段AC的中點，D是線段PB的中點，且PO=2，OB=1．
（1）試在PB上確定一點F，使得EF∥面COD，并說明理由；
（2）求點A到面COD的距離．

Answer 1

分析 （1）連接BE，設BE∩OC=G，由題意G為△ABC的重心，可得$\frac{BG}{GE}$=2，連接DG，利用EF∥平面COD，可得EF∥DG，進而得出F點的位置．
（2）由PO⊥平面ABC，可得OC⊥PO，利用線面面面垂直的判定與性質定理可得OC⊥平面POB．OC⊥OD．利用V_A-OCD=V_D-AOC，即可得出．

解答 解：（1）連接BE，設BE∩OC=G，由題意G為△ABC的重心，∴$\frac{BG}{GE}$=2，
連接DG，
∵EF∥平面COD，EF?平面BEF，平面BEF∩平面COD=DG，
∴EF∥DG，
∴$\frac{BD}{DF}$=$\frac{BG}{GE}$=2，
又BD=DP，∴DF=PF=$\frac{1}{4}$PB．
∴點F是PB上靠近點P的四等分點． 
（2）由PO⊥平面ABC，OC?平面ABC，
∴OC⊥PO，又點C是弧AB的中點，OC⊥AB，∴OC⊥平面POB．
OD?平面POB，∴OC⊥OD．
S_△COD=$\frac{1}{2}$OC•OD=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．
∵V_A-OCD=V_D-AOC，∴$\frac{1}{3}$•S_△COD•d=$\frac{1}{3}{S}_{△AOC}$•$\frac{1}{2}$PO，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{5}}{4}$d=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{1}^{2}×1$，
∴點A到面COD的距離$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了空間位置關系、空間距離、線面面面平行與垂直的判定與性質定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．