Question

17．如圖，在正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB=4，${A_1}A=4\sqrt{3}$，D，F分別是棱AB，AA₁的中點，E為棱AC上的動點，則△DEF周長的最小值為$2\sqrt{7}+4$．

Answer 1

分析 由正三棱柱A₁B₁C₁-ABC的性質可得：AA₁⊥AB，AA₁⊥AC．在Rt△ADF中，利用勾股定理可得DF=2．因此只要求出DE+EF的最小值即可得出．把底面ABC展開與側面ACC₁A₁在同一個平面，如圖所示，只有當三點D，E，F在同一條直線時，DE+EF取得最小值．利用余弦定理即可得出．

解答 解：由正三棱柱A₁B₁C₁-ABC，可得AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AC．
在Rt△ADF中，DF=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=4．
把底面ABC展開與側面ACC₁A₁在同一個平面，如圖所示，
只有當三點D，E，F在同一條直線時，DE+EF取得最小值．
在△ADE中，∠DAE=60°+90^°=150^°，由余弦定理可得：
DE=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}-2×2\sqrt{3}×2×cos150°}$=2$\sqrt{7}$．
∴△DEF周長的最小值=$2\sqrt{7}+4$．．
故答案為：$2\sqrt{7}+4$．

點評 本題考查了空間幾何位置關系、余弦定理、側面展開圖，考查了轉化能力、數形結合能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．