Question

【題目】已知關(guān)于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集為R． （Ⅰ）求m的最大值；
（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此時(shí)a，b，c的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵|x﹣3|+|x﹣m|≥|（x﹣3）﹣（x﹣m）|=|m﹣3| 當(dāng)3≤x≤m，或m≤x≤3時(shí)取等號(hào)，
令|m﹣3|≥2m，
∴m﹣3≥2m，或m﹣3≤﹣2m．
解得：m≤﹣3，或m≤1
∴m的最大值為1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=1．
由柯西不等式：（ + +1）（ 4a2+9b2+c2）≥（a+b+c）2=1，
∴4a2+9b2+c2≥ ，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)4a=9b=c，且a+b+c=1時(shí)成立．
即當(dāng)且僅當(dāng)a= ，b= ，c= 時(shí)，4a2+9b2+c2的最小值為
【解析】（Ⅰ）利用|x﹣3|+|x﹣m|≥|（x﹣3）﹣（x﹣m）|=|m﹣3|，對(duì)x與m的范圍討論即可．（Ⅱ）構(gòu)造柯西不等式即可得到結(jié)論．