Question

已知函數f（x）bx³+ax²-3x
（1）若f（x）在x=1和x=3處取得極值，求a，b的值；
（2）若f（x）為實數集R上的單調函數，且b≥-1，設點P的坐標為（a，b），試求出點P的軌跡所形成的圖形的面積S．

Answer 1

分析：（1）先求出函數的導函數，然后利用f（x）在x=1和x=3處取得極值是導函數方程的兩個根，建立方程組，解之即可；
（2）根據函數的單調性轉化成f′（x）≥0恒成立或者f′（x）≤0恒成立，然后建立關系式，最后利用定積分表示出所圍成圖形的面積即可．

解答：解：（1）f（x）=bx³+ax²-3x，f′（x）=3bx²+2ax-3
∵f（x）在x=1和x=3處取得極值
∴x=1和x=3是f′（x）=3bx²+2ax-3=0的兩個根
代入方程解之得a=2，b=-

1

3

（2）當b=0時，由f（x）在R上單調知a=0
當b≠0時，由f（x）在R上單調⇒f′（x）≥0恒成立或者f′（x）≤0恒成立
f′（x）=3bx²+2ax-3∴△=4a²+36b≤0可得b≤-

1

9

a²
∴面積S=

∫

3 -3

(1-

1

9

x2)dx=4

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值以及單調性，同時考查了利用定積分求圍成圖形的面積，考查的知識點較多，屬于中檔題．