Question

已知函數f（x）=bx，g（x）=ax²+1，h（x）=lnx．（a，b∈R）
（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范圍；
（2）設F(x)=

h(x)

f(x)

，且b＜0，試判斷函數F（x）的單調性；
（3）試證明：對?n∈N^*，不等式ln(

1+n

n

)e＜

1+n

n

恒成立．

Answer 1

分析：（1）解法一：由f（x）+g（x）≥0，}，-1∈M，2∈M，我們易得

a-b+1≥0 4a+2b+1≥0

，然后利用線性規劃，求出目標函數z=3a-b的取值范圍；
解法二：令h（x）=f（x）+g（x）由-1∈M，2∈M得h（-1）≥0，h（2）≥0，分別用h（-1），h（2）表示a，b，進而根據不等式的性質，得到z的取值范圍；
（2）由已知中F(x)=

h(x)

f(x)

，且b＜0，我們可以分別求出函數F（x）的解析式及其導函數的解析式，然后利用導數學判斷出函數F（x）的單調性；
（3）證法一：由（2）中結論，可得在（0，+∞）上恒有F(x)=

lnx

bx

≥

1

be

，即

lnx

x

≤

1

e

，進而根據對數的運算性質證得答案．
證法二：構造函數p(x)=lnx-

x

e

，x∈（0，+∞），利用導數法，可以證得p（x）在（0，e]上單調遞增，在[e，+∞）上單調遞減，即對任意的x∈（0，+∞）恒有lnx-

1

e

x≤0，即lnx≤

1

e

x進而根據對數的運算性質證得答案．

解答：解：（1）解法1：不等式f（x）+g（x）≥0即ax²+bx+1≥0
由-1∈M，2∈M得

a-b+1≥0 4a+2b+1≥0

----------------（2分）
畫出不等式組所確定的可行域如右圖示：作平行線族b=3a-z
可見當a=-0.5，b=0.5時z有最小值，，z_min=-2
∴z的取值范圍為z≥-2．----------------------------------------（4分）
解法2：令h（x）=f（x）+g（x）由-1∈M，2∈M得h（-1）≥0，h（2）≥0
由

a-b+1=h(-1) 4a+2b+1=h(2)

得

a= h(2)+2h(-1)-3 6 b= h(2)-4h(-1)+3 6

-------------------------（2分）
∴3a-b=

1

3

h(2)+

5

3

h(-1)-2
∵h（-1）≥0，h（2）≥0∴3a-b≥-2，即z的取值范圍為z≥-2．------------（4分）]
（2）∵F(x)=

lnx

bx

∴F′(x)=

1-lnx

bx2

-----------------------------------（6分）
令F'（x）=0得1-lnx=0
∴x=e------------------------------------------------------------（7分）
∵當0＜x＜e時F′(x)=

1-lnx

bx2

＜0，當x＞e時F'（x）＞0
∴函數F（x）在（0，e]上單調遞減，在[e，+∞）上單調遞增--------------------------（9分）
（3）證法1：由（2）知當x=e時函數有最小值F(x)min=F(e)=

1

be

∴在（0，+∞）上恒有F(x)=

lnx

bx

≥

1

be

，------------------------------------------------（11分）
∵b＜0∴

lnx

x

≤

1

e

當且僅當x=e時“=”成立
∴對任意的x∈（0，+∞）恒有lnx≤

1

e

x--------------------------------------------------（12分）
∵

1+n

n

＞0且

1+n

n

≠e∴ln

1+n

n

＜

1

e

•

1+n

n

?ln(

1+n

n

)e＜

1+n

n

即對?n∈N^*，不等式ln(

1+n

n

)e＜

1+n

n

恒成立．-----------------------------------------（14分）
〔證法2：構造函數p(x)=lnx-

x

e

，x∈（0，+∞）----------------------------------------（10分）
令p′(x)=

1

x

-

1

e

=0得x=e
∵當0＜x＜e時p'（x）＞0，當x＞e時p'（x）＜0
∴函數p（x）在（0，e]上單調遞增，在[e，+∞）上單調遞減----------------------（12分）
當x=e時函數p（x）有最大值p（x）_max=p（e）=0
∴對任意的x∈（0，+∞）恒有lnx-

1

e

x≤0，即lnx≤

1

e

x
∵

1+n

n

＞0且

1+n

n

≠e∴ln

1+n

n

＜

1

e

•

1+n

n

?ln(

1+n

n

)e＜

1+n

n

即對?n∈N^*，不等式ln(

1+n

n

)e＜

1+n

n

恒成立．-----------------------------------------（14分）

點評：本題考查的知識點是簡單線性規劃，利用導數研究函數的單調性，利用導數求閉區間上函數的最值，是應用導數確定函數性質類問題中比較難的類型，而且還綜合和對數的性質，不等式的證明等難點，屬高難度題型．