Question

已知函數f（x）=bx，g（x）=ax²+1，h（x）=ln（1+x²）．（a，b∈R）
（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范圍；
（2）設F（x）=f（x）+h（x），且b≤0，試討論函數F（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）原不等式f（x）+g（x）≥0即ax²+bx+1≥0，由-1∈M，2∈M得

a-b+1≥0 4a+2b+1≥0

畫出不等式組所確定的可行域，利用線性規劃的方法即可求得z的取值范圍；
（2）對F（x）求導數得F/(x)=

2x

1+x2

+b=

bx2+2x+b

1+x2

，下面對字母b進行分類討論：當b=0時，F（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減；當b＜0時，F（x）在（-∞，+∞）上單調遞減；當-1＜b＜0時，討論函數F（x）的單調性即可．

解答：解：（1）解：不等式f（x）+g（x）≥0即ax²+bx+1≥0
由-1∈M，2∈M得

a-b+1≥0 4a+2b+1≥0

----------------（2分）
畫出不等式組所確定的可行域如右圖示：作平行線族b=3a-z
可見當a=-0.5，b=0.5時z有最小值，，z_min=-2--------------------（5分）
∴z的取值范圍為z≥-2．----------------------------------------（6分）
（2）∵F（x）=bx+ln（1+x²）
∴F/(x)=

2x

1+x2

+b=

bx2+2x+b

1+x2

----------------（8分）
當b=0時，F/(x)=

2x

1+x2

＞0?x＞0
∴F（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減；-----------------（9分）
當b＜0時，由bx²+2x+b=0的判別式△=4-4b²=0，得b=-1∴F′（x）≤0
當b≤-1時，對x∈R恒成立
∴F（x）在（-∞，+∞）上單調遞減；-----------------------（10分）
當-1＜b＜0時，由F′（x）＞0得：bx²+2x+b＞0
解得：

-1+ 1-b2

b

＜x＜

-1- 1-b2

b

由F′（x）＜0可得：x＞

-1- 1-b2

b

或x＜

-1+ 1-b2

b

-----------------------（12分）
∴當-1＜b＜0時F（x）在(

-1+ 1-b2

b

，

-1- 1-b2

b

)上單調遞增，
在(-∞，

-1+ 1-b2

b

)和(

-1- 1-b2

b

，+∞)上單調遞減．-------------------（14分）

點評：本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、簡單線性規劃的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．