Question

已知函數f（x）=bx，g（x）=ax²+1，h（x）=lnx．（a，b∈R）
（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范圍；
（2）設，且b＜0，試判斷函數F（x）的單調性；
（3）試證明：對?n∈N^*，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一：由f（x）+g（x）≥0，}，-1∈M，2∈M，我們易得，然后利用線性規劃，求出目標函數z=3a-b的取值范圍；
解法二：令h（x）=f（x）+g（x）由-1∈M，2∈M得h（-1）≥0，h（2）≥0，分別用h（-1），h（2）表示a，b，進而根據不等式的性質，得到z的取值范圍；
（2）由已知中，且b＜0，我們可以分別求出函數F（x）的解析式及其導函數的解析式，然后利用導數學判斷出函數F（x）的單調性；
（3）證法一：由（2）中結論，可得在（0，+∞）上恒有，即，進而根據對數的運算性質證得答案．
證法二：構造函數，x∈（0，+∞），利用導數法，可以證得p（x）在（0，e]上單調遞增，在[e，+∞）上單調遞減，即對任意的x∈（0，+∞）恒有，即進而根據對數的運算性質證得答案．
解答：解：（1）解法1：不等式f（x）+g（x）≥0即ax²+bx+1≥0
由-1∈M，2∈M得----------------（2分）
畫出不等式組所確定的可行域如右圖示：作平行線族b=3a-z
可見當a=-0.5，b=0.5時z有最小值，，z_min=-2
∴z的取值范圍為z≥-2．----------------------------------------（4分）
解法2：令h（x）=f（x）+g（x）由-1∈M，2∈M得h（-1）≥0，h（2）≥0
由得-------------------------（2分）
∴
∵h（-1）≥0，h（2）≥0∴3a-b≥-2，即z的取值范圍為z≥-2．------------（4分）]
（2）∵∴-----------------------------------（6分）
令F'（x）=0得1-lnx=0
∴x=e------------------------------------------------------------（7分）
∵當0＜x＜e時，當x＞e時F'（x）＞0
∴函數F（x）在（0，e]上單調遞減，在[e，+∞）上單調遞增--------------------------（9分）
（3）證法1：由（2）知當x=e時函數有最小值
∴在（0，+∞）上恒有，------------------------------------------------（11分）
∵b＜0∴當且僅當x=e時“=”成立
∴對任意的x∈（0，+∞）恒有--------------------------------------------------（12分）
∵且∴
即對?n∈N^*，不等式恒成立．-----------------------------------------（14分）
〔證法2：構造函數，x∈（0，+∞）----------------------------------------（10分）
令=0得x=e
∵當0＜x＜e時p'（x）＞0，當x＞e時p'（x）＜0
∴函數p（x）在（0，e]上單調遞增，在[e，+∞）上單調遞減----------------------（12分）
當x=e時函數p（x）有最大值p（x）_max=p（e）=0
∴對任意的x∈（0，+∞）恒有，即
∵且∴
即對?n∈N^*，不等式恒成立．-----------------------------------------（14分）
點評：本題考查的知識點是簡單線性規劃，利用導數研究函數的單調性，利用導數求閉區間上函數的最值，是應用導數確定函數性質類問題中比較難的類型，而且還綜合和對數的性質，不等式的證明等難點，屬高難度題型．