Question

已知函數f（x）=+bx+c在x=1及x=3時取到極值．
（1）求實數a，b；
（2）若f（x）≥0在[0，4]上恒成立，求實數c的取值范圍；
（3）若g（x）=f（x）-cx²在[0，4]上是增函數，求實數c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意函數f（x）=+bx+c在x=1及x=3時取到極值，可得x=1及x=3是f′（x）=0的兩根
由于f′（x）=x²+2ax+b，故有解得a=-2，b=3
（2）由（1）f（x）=+3x+c，f′（x）=x²-4x+3
令導數大于0解得x＞3或x＜1，由導數小于0解得1＜x＜3，可得函數在[0，1]與[3，4]上是增函數，在[1，3]上是減函數，
故函數在[0，4]上的最小值可能為f（0）=c或，f（3）=c，
又f（x）≥0在[0，4]上恒成立，可得c≥0
（3）由題意g（x）=f（x）-cx²=+3x+c，g′（x）=x²-（4+2c）x+3
又g（x）=f（x）-cx²在[0，4]上是增函數，故g′（x）=x²-（4+2c）x+3≥0在[0，4]上恒成立，
當x=0時，c∈R
當x＞0時，可變為4+2c≤x+在[0，4]上恒成立，
由于x+≥2，等號當且僅當x=，即x=成立，
故有4+2c≤2，解得c≤-2
分析：（1）由題意函數f（x）=+bx+c在x=1及x=3時取到極值，可得x=1及x=3是f′（x）=0的兩根，求出函數的導數，再由根系關系建立關于a，b的方程解出它們的值；
（2）f（x）≥0在[0，4]上恒成立，可研究出函數在[0，4]上的最小值，令最小值大于等于0即可解出實數c的取值范圍；
（3）g（x）=f（x）-cx²在[0，4]上是增函數，可轉化為g′（x）=x²-（4+2c）x+3≥0在[0，4]上恒成立，將此不等式轉化為4+2c≤x+在[0，4]上恒成立，利用基本不等式即可得出參數c所滿足的不等式，解出它的取值范圍
點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值，利用導數研究函數的單調性，研究函數的極值，本題是導數中綜合性較強的題全面考查了導數基礎知識及導數在函數的用法，解題的關鍵是將問題正確轉化，考察了轉化的思想，推理判斷的能力．