Question

14．利用“長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四面體A₁BC₁D”的特點(diǎn)，求得四面體PMNR（其中PM=NR=$\sqrt{10}$，PN=MR=$\sqrt{13}$，MN=PR=$\sqrt{5}$）的外接球的表面積為（　　）

• A． 14π
• B． 16π
• C． 13π
• D． 15π

Answer 1

分析 構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$，$\sqrt{5}$，則長方體的對角線長等于四面體PMNR外接球的直徑，即可求出四面體PMNR外接球的表面積．

解答 解：由題意，構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$，$\sqrt{5}$，
則長方體的對角線長等于四面體PMNR外接球的直徑．
設(shè)長方體的棱長分別為x，y，z，則x²+y²=10，y²+z²=13，x²+z²=5，
∴x²+y²+z²=14
∴三棱錐O-ABC外接球的直徑為$\sqrt{14}$，
∴三棱錐S-ABC外接球的表面積為π•14=14π，
故選A．

點(diǎn)評 本題考查球內(nèi)接多面體，構(gòu)造長方體，利用長方體的對角線長等于四面體外接球的直徑是關(guān)鍵．