Question

20．已知函數f（x）=log₂（5-x）-log₂（5+x）+1+m
（1）若f（x）是奇函數，求實數m的值．
（2）若m=0，則是否存在實數x，使得f（x）＞2？若存在，求出x的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據奇函數的定義求出m的值即可；
（2）根據對數函數的性質得到關于x的不等式，解出即可．

解答 解．（1）∵f（x）為奇函數，∴f（-x）+f（x）=0對定義域中的任意x都成立，
∴log₂（5+x）-log₂（5-x）+log₂（5-x）-log₂（5+x）+2（1+m）=0，
∴m=-1；
（2）假設存在實數x，使得f（x）＞2，
∴log₂（5-x）-log₂（5+x）+1＞2，
∴log₂（5-x）＞log₂（5+x）+1，
∴log₂（5-x）＞log₂（5+x）+log₂2，
∴log₂（5-x）＞log₂2（5+x），
∴$\left\{\begin{array}{l}5-x＞0\\ 5+x＞0\\ 5-x＞2（5+x）\end{array}\right.⇒-5＜x＜-\frac{5}{3}$，
∴存在實數$-5＜x＜-\frac{5}{3}$，使得f（x）＞2．

點評 本題考查了奇函數的定義，考查對數函數的性質，是一道中檔題．