Question

已知函數(其中)，為f(x)的導函數.

（1）求證：曲線y=在點(1，)處的切線不過點(2，0)；

（2）若在區間中存在，使得，求的取值范圍；

（3）若，試證明：對任意，恒成立.

 

Answer 1

（1）參考解析；（2）； （3）參考解析

【解析】

試題分析：（1）由函數(其中)，求出，由于求y=在點(1，)處的切線方程，由點斜式可得結論.

（2）由，再利用分離變量即可得到.在再研究函數的單調性即可得到結論.

（3）由可得.需證任意，恒成立，等價證明.然后研究函數，通過求導求出函數的最大值.研究函數，通過求導得出函數的.再根據不等式的傳遞性可得結論.

（1）由得，，

所以曲線y=在點(1，)處的切線斜率為，

，曲線y=切線方程為，

假設切線過點(2，0)，代入上式得：，得到0=1產生矛盾，所以假設錯誤，

故曲線y=在點(1，)處的切線不過點(2，0） 4分

（2）由得

，，所以在(0，1]上單調遞減，故 7分

（3）令，當=1時，，所以..

因此，對任意，等價于. 9分

由，.所以.

因此，當時，，單調遞增；時，，單調遞減.

所以的最大值為，故. 12分

設，，所以時，單調遞增，，

故時，，即.

所以.

因此，對任意，恒成立 14分

考點：1.導函數的幾何意義.2.函數的極值.3.導數應用.4.通過不等式的傳遞性證明不等式.