Question

已知-

π

2

＜θ＜

π

2

，且sinθ+cosθ=

10

5

，則tanθ的值為

 

．

Answer 1

考點：同角三角函數基本關系的運用

專題：三角函數的求值

分析：對已知等式兩邊平方，求得sinsinθcosθ的值和sin2θ的值來判斷θ的范圍，通過sinθ+cosθ=

2

sin（θ+

π

4

）進一步對θ的范圍進行判斷，最后根據tanθ+

1

tanθ

=

1

sinθcosθ

求得答案．

解答： 解：∵sinθ+cosθ=

10

5

，
∴（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=

2

5

，
∴sin2θ=-

3

5

，sinθcosθ=-

3

10

∵-

π

2

＜θ＜

π

2

，
∴-π＜2θ＜π，
∵sin2θ＜0，
∴-π＜2θ＜0，
∴-

π

2

＜θ＜0，
∵sinθ+cosθ=

2

sin（θ+

π

4

）＞0，
∴0＜θ+

π

4

＜

π

4

，
∴-

π

4

＜θ＜0
tanθ+

1

tanθ

=

sinθ

cosθ

+

cosθ

sinθ

=

1

sinθcosθ

=-

10

3

，
求得tanθ=-

1

3

或-3（舍去），
故答案為：-

1

3

．

點評：本題主要考查了同角三角函數基本關系的應用．解題的過程中對θ范圍的判斷時解題的關鍵所在，屬于基本知識的考查．