Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是AB，BB₁的中點．
（1）證明BC₁∥平面A₁CD
（2）設AA₁=AC=CB=2，AB=2

2

，求三菱錐C-A₁DE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連結AC₁交A₁C于點F，連結DF，則BC₁∥DF，由此能證明BC₁∥平面A₁CD．
（2）由已知得AA₁⊥CD，CD⊥AB，從而CD⊥平面ABB₁A₁．由此能求出三菱錐C-A₁DE的體積．

解答： （1）證明：連結AC₁交A₁C于點F，
則F為AC₁中點又D是AB中點，
連結DF，則BC₁∥DF．
因為DF?平面A₁CD，BC₁不包含于平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．
（2）解：因為ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以AA₁⊥CD．
由已知AC=CB，D為AB的中點，所以CD⊥AB．
又AA₁∩AB=A，于是CD⊥平面ABB₁A₁．
由AA₁=AC=CB=2，AB=2

2

得∠ACB=90°，
CD=

2

，A1D=

6

，DE=

3

，A₁E=3，
故A₁D²+DE²=A₁E²，即DE⊥A₁D．
所以三菱錐C-A₁DE的體積為：
VC-A1DE=

1

3

×

1

2

×

6

×

3

×

2

=1．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查三菱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．