Question

已知P（4，0）是圓x²+y²=36內(nèi)的一點，A，B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°．
（1）求AB中點R的軌跡；
（2）求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），連結(jié)OM、OA、PA．由垂徑定理和直角三角形中線的性質(zhì)，化簡得|AM|²=|PM|²=|OA|²-|OM|²，利用兩點的距離公式代入數(shù)據(jù)，化簡即得M的軌跡方程；
（2）設(shè)出AB的中點R的坐標(biāo)、Q的坐標(biāo)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得|AR|=|PR|，利用兩點間的距離公式列出方程，再由R是PQ的中點，利用中點坐標(biāo)公式建立Q、R兩點坐標(biāo)的關(guān)系，代入方程化簡即可．

解答： 解：（1）設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），連結(jié)OM、OA、PA，
∵在Rt△PAB中，M是斜邊AB的中點，∴|PM|=|AM|，
∵由垂徑定理，OM⊥AB，
∴|AM|²=|OA|²-|OM|²，可得|PM|²=|OA|²-|OM|²，
可得（x-4）²+y²=36-（x²+y²）．
化簡得x²+y²-4x-10=0，即為所求AB的中點M的軌跡方程；
（2）設(shè)AB的中點為R，則R也是PQ的中點，設(shè)R的坐標(biāo)為（x₁，y₁），
因為R是弦AB的中點，所以依垂徑定理：在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²-|OR|²=36-（x12+y12），
因為∠APB=90°，所以|AR|=|PR|=

(x1-4)2+y12

，
所以(x1-4)2+y12=36-（x12+y12），化簡得x12+y12-4x1-10=0，
設(shè)Q（x，y），因為R是PQ的中點，所以

x1= x+4 2 y1= y 2

，
代入上式得，(

x+4

2

)2+

y

4

2-4×

x+4

2

-10=0，化簡得x²+y²=56，
所求的Q點的軌跡方程是x²+y²=56．

點評：本題考查動點的軌跡方程的求法：相關(guān)點代入法、直接法，兩點間的距離公式、垂徑定理和直角三角形、矩形的性質(zhì)等知識，對于（2）欲求Q的軌跡方程，應(yīng)先求R的軌跡方程，若學(xué)生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問題的實質(zhì)，很難解決此題，屬于難題．