Question

已知函數f（x）對任意x∈R都有f（x）+f（x+6）=0成立．若y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，且f（7）=4，則f（2015）=

 

．

Answer 1

考點：函數的周期性

專題：函數的性質及應用

分析：根據函數的周期定義得出f（x）的周期為12，y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，f（-x）=-f（x），
利用周期得出f（2015）=f（-1）=f（7）即可．

解答： 解：∵函數f（x）對任意x∈R都有f（x）+f（x+6）=0成立，
∴f（x）=f（12+x），
∴f（x）的周期為12，
∵y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，
∴f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，
∴f（-x）=-f（x），
∵f（2015）=f（-1），
∵f（7）=4，
∴f（-1）=f（7）=4
故答案為：4

點評：本題考查了抽象函數的性質，運用周期性，對稱性求解函數值，屬于中檔題，關鍵是恒等變形．