Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），F是雙曲線C的右焦點，點A是漸近線上第一象限內的一點，O為坐標原點，且|OA|=

a2+b2

，若

OF

•

OA

=

2

3

b²，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、

  5 +1

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,平面向量及應用,直線與圓

分析：設出雙曲線的右焦點，求出漸近線方程，設出A的坐標，再由條件求得m=a，再由向量的數量積的坐標公式，可得a，c的關系，由離心率公式計算即可得到．

解答： 解：設雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點F（c，0），
漸近線方程為y=±

b

a

x，可設A（m，

bm

a

）（m＞0），
由|OA|=

a2+b2

，
即有m²+

b2m2

a2

=a²+b²，即為m=a，
即有A（a，b），
由

OF

•

OA

=

2

3

b²，
則ac=

2

3

b²=

2

3

（c²-a²），
解得，c=2a，即有e=

c

a

=2．
故選C．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質，考查平面向量的數量積的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題．