Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，在正方體的側面BCB₁C₁上到點A距離為

2 3

3

的點的集合形成一條直線，那么這條曲線的形狀是

 

，它的長度是

 

．
若將“在正方體的側面BCC₁B₁上到點A距離為

2 3

3

的點的集合”改為在正方體表面上與點P的距離為

2 3

3

的點的集合”那么這條曲線的形狀又是

 

，它的長度又是

 

．

Answer 1

考點：拋物線的定義

專題：計算題

分析：首先由題意要弄清楚曲線的形狀，再根據曲線的性質及解析幾何知識即可求出長度．

解答： 解：在正方體的側面BCB₁C₁上到點A距離為

2 3

3

的點的集合形成圓弧，如圖：
且B₁BCC₁為與球心距離為1的截面，截痕為小圓弧，由于截面圓半徑為r=

3

3

，
故各段弧圓心角為

π

2

，它的長度是

π

2

•

3

3

=

3 π

6

；
由題意，此問題的實質是以A為球心、

2 3

3

為半徑的球在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁各個面上交線的長度計算，
正方體的各個面根據與球心位置關系分成兩類：
ABCD、AA₁DD₁、AA₁BB₁為過球心的截面，截痕為大圓弧，各弧圓心角為

π

6

、
A₁B₁C₁D₁、B₁BCC₁、D₁DCC₁為與球心距離為1的截面，
截痕為小圓弧，由于截面圓半徑為r=

3

3

，故各段弧圓心角為

π

2

．
∴這條曲線長度為3•

π

6

•

2 3

3

+3•

π

2

•

3

3

=

5 3 π

6

，
故答案為：圓弧、

3 π

6

；各個面上的圓弧、

5 3 π

6

．

點評：本題以正方體為載體，考查軌跡的判斷，長公式的應用，解題時要認真審題，仔細觀察，避免出錯．