Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且2nS_n+1-2（n+1）S_n=n（n+1）（n∈N⁺），數(shù)列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N⁺），b₃=5，其前9項和為63．求：數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由數(shù)列遞推式得

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=

1

2

，說明數(shù)列{

Sn

n

}是以

S1

1

=1為首項，以

1

2

為公差的等差數(shù)列，求其通項公式后再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得a_n=n；
由b_n+2-2b_n+1+b_n=0，得2b_n+1=b_n+2+b_n，說明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，由已知列式求得首項和公差，代入等差數(shù)列的通項公式得答案．

解答： 解：由2nS_n+1-2（n+1）S_n=n（n+1）（n∈N⁺），得

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=

1

2

，
∴數(shù)列{

Sn

n

}是以

S1

1

=1為首項，以

1

2

為公差的等差數(shù)列，
則

Sn

n

=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

．
∴Sn=

n(n+1)

2

．
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

n2+n

2

-

n2-n

2

=n．
a₁=1適合上式，
∴a_n=n；
由b_n+2-2b_n+1+b_n=0，得2b_n+1=b_n+2+b_n，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
設首項為b₁，公差為d，
則

b3=b1+2d=5 S9=9b1+ 9×8d 2 =63

，解得：

b1=3 d=1

．
∴b_n=3+（n-1）=n+2．

點評：本題考查了等差關系的確定，考查了等差數(shù)列的通項公式，是中檔題．