Question

已知

AB

=（1，x），

AC

=（x+2tanθ，y+1），且

AB

∥

AC

，其中θ∈（-

π

2

，

π

2

）．
（1）將y表示為x的函數，并求出函數的表達式y=f（x）
（2）若y=f（x）在x∈[-1，

3

]上為單調函數，求θ的取值范圍；
（3）當θ∈[-

π

3

，

π

3

]時，y=f（x）在[-1，

3

]上的最小值為g（θ），求g（θ）的表達式．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,函數解析式的求解及常用方法,平面向量共線（平行）的坐標表示

專題：平面向量及應用

分析：由向量平行坐標間的關系，得到y與x的關系式，然后解答本題．

解答： 解：（1）因為

AB

=（1，x），

AC

=（x+2tanθ，y+1），且

AB

∥

AC

，其中θ∈（-

π

2

，

π

2

）．
所以y+1=x（x+2tanθ），即y=x²+2tanθx-1；
（2）由（1）可知，y=f（x）在x∈[-1，

3

]上為單調函數，即y=x²+2tanθx-1在x∈[-1，

3

]上為單調函數；
所以-tanθ≥

3

或者-tanθ≤-1，θ∈（-

π

2

，

π

2

），所以θ∈（-

π

2

，-

π

3

）或者θ∈（

π

4

，

π

2

）．
（3）當θ∈[-

π

3

，

π

3

]時，y=f（x）在[-1，

3

]上的最小值為g（θ），則-tanθ∈（-

3

，

3

），所以當對稱軸x=-tanθ＜-1時，函數y=x²+2tanθx-1在x∈[-1，

3

]上為單調增函數，所以最小值為g（θ）=f（-1）=2tanθ；當x=-tanθ∈[-1，

3

]時，g（θ）=f（-tanθ）=-tan²θ-1，
所以g（θ）=

2tanθ，- π 3 ≤θ＜- π 4 -tan2θ-1，- π 4 ≤θ≤ π 3

．

點評：本題考查了向量平行的坐標關系以及與函數的單調性結合的求參數范圍以及解析式的問題，屬于中檔題．