Question

已知各項均為正數的等比數列{a_n}滿足：a₂₀₁₂=a₂₀₁₁+2a₂₀₁₀，若

am•an

=2a₁，則

1

m

+

5

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用,等比數列的性質

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：由已知各項均為正數的等比數列{a_n}滿足：a₂₀₁₂=a₂₀₁₁+2a₂₀₁₀，可求出公比q的值，再由

am•an

=2a₁，及通項公式即可求出m+n=4，進而再由基本不等式即可求出

1

m

+

5

n

的最小值．

解答： 解：設等比數列{a_n}的公比為q＞0，∵a₂₀₁₂=a₂₀₁₁+2a₂₀₁₀，∴a₂₀₁₁q=a₂₀₁₁+

2a2011

q

∵a₂₀₁₁＞0，∴q²-q-2=0，解得q=2，或q=-1，∵q＞0，∴q=-1應舍去，∴q=2．
∵

am•an

=2a₁，∴

a12×2m+n-2

=2a₁，解得m+n=4．
∴

1

m

+

5

n

=

1

4

（

1

m

+

5

n

）（m+n）=

1

4

×（6+

n

m

+

5m

n

）≥

1

4

(6+2

5

）=

3+ 5

2

．
當且僅當

n

m

=

5m

n

時取得最小值

3+ 5

2

．
故答案為：

3+ 5

2

．

點評：本題綜合考查了等比數列的通項公式和基本不等式的性質，深刻理解以上知識和方法是解決問題的關鍵．