Question

（本題滿分14分）已知函數,（其中）.

（Ⅰ）如果函數和有相同的極值點,求的值,并直接寫出函數的單調區間；

（Ⅱ）求方程在區間上實數解的個數.

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）分別求出函數和的極值點，讓其相等即可解決即或，注意分類討論；（Ⅱ）注意到，令分三種情況進行討論，在的情況較為復雜，當即或時,若,由于,三個點函數值正負已確定，易得原方程有唯一實數解；若時,由于,由于函數值正負情況不知，所以需分類討論即當與最終才會獲解

試題解析：（Ⅰ）,

則, 1分

令,得或,而二次函數在處有極大值,所以或,

解得或； 4分

當時,的遞增區間為,,遞減區間為. 5分

當時,的遞增區間為,遞減區間為. 6分

（Ⅱ）

, 8分

令,,

當即時,無實根,故原方程的解為,滿足題意,

即原方程有唯一實數解； 9分

當即或時,

若,則的實數解為,故原方程在區間上有唯一實數解；

若,則的實數解為,故原方程在區間上有兩實數解,或； 10分

當即或時,

若,由于,此時在區間上有一實數解,故原方程有唯一實數解； 11分

若時,由于,

當即時,在區間上有唯一實數解,故原方程有一實數解；

若即時,在區間上無實數解,故原方程有無實數解； 13分

綜上,當時,原方程在上無實數解；

當或時,原方程在上有唯一實數解；

當時,原方程在上有兩不等實數解. 14分

考點：導數及其綜合應用