Question

設(shè)a＞0，b＞0，稱

2ab

a+b

為a，b的調(diào)和平均數(shù)．如圖，C為線段AB上的點(diǎn)，且AC=a，CB=b，O為AB中點(diǎn)，以AB為直徑做半圓．過點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于D．連接OD，AD，BD．過點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為E．則圖中線段OD的長(zhǎng)度是a，b的算術(shù)平均數(shù)，線段CD的長(zhǎng)度是a，b的幾何平均數(shù)，那么a，b的調(diào)和平均數(shù)是線段

DE

的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：有題意可知，Rt△DAC∽R(shí)t△BDC，于是可得

CD

BC

=

AC

CD

，即

CD

b

a

CD

⇒CD²=ab；同理可得，由Rt△DCO∽R(shí)t△EDC⇒CD²=DE•OD，從而可得答案．

解答：解：依題意得，Rt△DAC∽R(shí)t△BDC，
∴

CD

BC

=

AC

CD

，
∵AC=a，CB=b，
∴

CD

b

a

CD

，CD²=ab（射影定理）；
同理，Rt△DCO∽R(shí)t△EDC⇒CD²=DE•OD，又OD=

a+b

2

，
∴DE=

CD2

OD

=

2ab

a+b

，此即為a，b的調(diào)和平均數(shù)．
故答案為：DE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形相似及比例的運(yùn)用，考查射影定理的靈活應(yīng)用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力的考查，屬于中檔題．