Question

設a＞0，b＞0，已知函數f（x）=．
（Ⅰ）當a≠b時，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）當x＞0時，稱f（x）為a、b關于x的加權平均數．
（i）判斷f（1），f（），f（）是否成等比數列，并證明f（）≤f（）；
（ii）a、b的幾何平均數記為G．稱為a、b的調和平均數，記為H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定函數的定義域，利用導數的正負，結合分類討論，即可求得數f（x）的單調性；
（Ⅱ）（i）利用函數解析式，求出f（1），f（），f（），根據等比數列的定義，即可得到結論；
（ii）利用定義，結合函數的單調性，即可確定x的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）函數的定義域為{x|x≠-1}，
∴當a＞b＞0時，f′（x）＞0，函數f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上單調遞增；
當0＜a＜b時，f′（x）＜0，函數f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上單調遞減．
（Ⅱ）（i）計算得f（1）=，f（）=，f（）=．
∵
∴f（1），f（），f（）成等比數列，
∵a＞0，b＞0，∴≤
∴f（）≤f（）；
（ii）由（i）知f（）=，f（1）=．
故由H≤f（x）≤G，得f（）≤f（x）≤f（1）．
當a＞b＞0時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增．這時≤x≤1，即x的取值范圍為≤x≤1；
當0＜a＜b時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減，
∴x的取值范圍為1≤x≤．
點評：本題考查函數的單調性，考查等比數列，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．