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設a＞0，b＞0，已知函數f（x）=
ax+b
x+1
，且a≠b．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）已知f（
b
a
）≤f（x）≤f（
b
a
），求x的取值范圍．
分析：（1）利用導數判斷函數的單調性．（2）利用函數的單調性結合不等式進行求解即可．
解答：解：（1）函數的定義域為{x|x≠1}，函數的導數f′(x)=
a(x+1)-(ax+b)
(x+1)2
=
a-b
(x+1)2
，
當a＞b時，f'（x）＞0，函數在f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上單調遞增．
當a＜b時，f'（x）＜0，函數在f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上單調遞減．
（2）若f（
b
a
）≤f（x）≤f（
b
a
），
當a＞b時，0＜
b
a
＜1，從而
b
a
＜
b
a
，由f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
所以
b
a
≤x≤
b
a
，即x的取值范圍為[
b
a
，
b
a
]．
當a＜b時，
b
a
＞1，從而
b
a
＞
b
a
，由f'（x）＜0，可知函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減．
所以此時
b
a
≤x≤
b
a
，即x的取值范圍為[
b
a
，
b
a
]．
點評：本題主要考查函數單調性的判斷和應用，考查學生的運算能力綜合性較強．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•湖北）設a＞0，b＞0，已知函數f（x）=
ax+b
x+1
．
（Ⅰ）當a≠b時，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）當x＞0時，稱f（x）為a、b關于x的加權平均數．
（i）判斷f（1），f（
b
a
），f（
b
a
）是否成等比數列，并證明f（
b
a
）≤f（
b
a
）；
（ii）a、b的幾何平均數記為G．稱
2ab
a+b
為a、b的調和平均數，記為H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2013年湖北省高考數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設a＞0，b＞0，已知函數f（x）=．
（Ⅰ）當a≠b時，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）當x＞0時，稱f（x）為a、b關于x的加權平均數．
（i）判斷f（1），f（），f（）是否成等比數列，并證明f（）≤f（）；
（ii）a、b的幾何平均數記為G．稱為a、b的調和平均數，記為H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設a＞0，b＞0，已知函數f（x）=數學公式，且a≠b．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）已知f（數學公式）≤f（x）≤f（數學公式），求x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設a＞0，b＞0，已知函數f（x）=
ax+b
x+1
，且a≠b．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）已知f（
b
a
）≤f（x）≤f（
b
a
），求x的取值范圍．

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