Question

設a＞0，b＞0，稱

2ab

a+b

為a，b的調和平均數．如圖，C為線段AB上的點，且AC=a，CB=b，O為AB中點，以AB為直徑做半圓．過點C作AB的垂線交半圓于D．連接OD，AD，BD．過點C作OD的垂線，垂足為E．則圖中線段OD的長度是a，b的算術平均數，線段

 

的長度是a，b的幾何平均數，線段

 

的長度是a，b的調和平均數．

Answer 1

分析：在直角三角形中，由DC為高，根據射影定理可得CD²=AC•CB，變形兩邊開方，得到CD長度為a，b的幾何平均數；根據a，b與OC之間的關系，表示出OC的長度，根據直角三角形OCE和直角三角形CDE之間邊的關系得到CE的長，得到OE進而ED，得到結果．

解答：解：在Rt△ADB中DC為高，則由射影定理可得CD²=AC•CB，
∴CD=

ab

，即CD長度為a，b的幾何平均數，
將OC=a-

a+b

2

=

a-b

2

，CD=

ab

，OD=

a+b

2

代入OD•CE=OC•CD
可得CE=

a-b

a+b

ab

故OE=

OC2-CE2

=

(a-b)2

2(a+b)

，
∴ED=OD-OE=

2ab

a+b

，
∴DE的長度為a，b的調和平均數．
故選CD；DE

點評：本題是一個新定義問題，解題過程中主要應用直角三角形邊之間的比例關系，得到比例式，本題是一個平面幾何與代數中的平均數結合的問題，是一個綜合題．