Question

若給定橢圓C：ax²+by²=1（a＞0，b＞0，a≠b）和點N（x₀，y₀），則稱直線l：ax₀x+by₀y=1為橢圓C的“伴隨直線”．
（1）若N（x₀，y₀）在橢圓C上，判斷橢圓C與它的“伴隨直線”的位置關系（當直線與橢圓的交點個數為0個、1個、2個時，分別稱直線與橢圓相離、相切、相交），并說明理由；
（2）命題：“若點N（x₀，y₀）在橢圓C的外部，則直線l與橢圓C必相交．”寫出這個命題的逆命題，判斷此逆命題的真假，說明理由；
（3）若N（x₀，y₀）在橢圓C的內部，過N點任意作一條直線，交橢圓C于A、B，交l于M點（異于A、B），設

MA

=λ1

AN

，

MB

=λ2

BN

，問λ₁+λ₂是否為定值？說明理由．

Answer 1

分析：（1）

ax2+by2=1 ax0x+by0y=1

⇒(aby02+a2x02)x2-2ax0x+1-by02=0，由根的差別式能得到l與橢圓C相切．
（2）逆命題：若直線l：ax₀x+by₀y=1與橢圓C相交，則點N（x₀，y₀）在橢圓C的外部．是真命題．聯立方程得（aby₀²+a²x₀²）x²-2ax₀x+1-by₀²=0．由△=4a²x₀²-4a（by₀²+ax₀²）（1-by₀²）＞0，能求出N（x₀，y₀）在橢圓C的外部．
（3）此時l與橢圓相離，設M（x₁，y₁），A（x，y）則

x= x1+λ1x0 1+λ1 y= y1+λ1y0 1+λ1

代入橢圓C：ax²+by²=1，利用M在l上，得（ax₀²+by₀²-1）λ₁²+ax₁²+by₁²-1=0．由此能求出λ₁+λ₂=0．

解答：解：（1）

ax2+by2=1 ax0x+by0y=1

⇒(aby02+a2x02)x2-2ax0x+1-by02=0
即ax²-2ax₀x+ax₀²=0
∴△=4a²x₀²-4a²x₀²=0
∴l與橢圓C相切．
（2）逆命題：若直線l：ax₀x+by₀y=1與橢圓C相交，則點N（x₀，y₀）在橢圓C的外部．
是真命題．聯立方程得（aby₀²+a²x₀²）x²-2ax₀x+1-by₀²=0
則△=4a²x₀²-4a（by₀²+ax₀²）（1-by₀²）＞0
∴ax₀²-by₀²+b²y₀⁴-ax₀²+abx₀²y₀²＞0
∴by₀²+ax₀²＞1
∴N（x₀，y₀）在橢圓C的外部．
（3）同理可得此時l與橢圓相離，設M（x₁，y₁），A（x，y）
則

x= x1+λ1x0 1+λ1 y= y1+λ1y0 1+λ1

代入橢圓C：ax²+by²=1，利用M在l上，
即ax₀x₁+by₀y₁=1，整理得（ax₀²+by₀²-1）λ₁²+ax₁²+by₁²-1=0
同理得關于λ₂的方程，類似．
即λ₁、λ₂是（ax₀²+by₀²-1）λ²+ax₁²+by₁²-1=0的兩根
∴λ₁+λ₂=0．

點評：本題考查直線和橢圓的位置關系的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．