Question

【題目】M是正方體的棱的中點，給出下列四個命題：①過M點有且只有一條直線與直線都相交；②過M點有且只有一條直線與直線都垂直；③過M點有且只有一個平面與直線都相交；④過M點有且只有一個平面與直線都平行；其中真命題是（ ）

A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用反證法說明①正確,通過直接作平面說明②④正確，直接作平面說明③錯誤.

由題意得直線與是兩條互相垂直的異面直線，點不在這兩異面直線中的任何一條上，

假設(shè)過點有兩條直線與直線都相交，如圖，

設(shè)交點分別為,則四點共面，從而直線共面，與與異面矛盾，因此假設(shè)不成立；顯然過點多于兩條直線與直線都相交也不成立，故過M點有且只有一條直線與直線都相交，①正確．

過點作直線分別與直線平行，如圖，

因為直線異面，所以直線必為相交直線，即可確定一個平面，因為與直線都垂直的直線必垂直這個平面，而過點有且只有一條直線與平面垂直，所以過M點有且只有一條直線與直線都垂直，故②正確．

因為點不在這兩異面直線中的任何一條上，所以平面與直線都平行，根據(jù)作法知平面只有一個，所以過點有且只有一個平面與直線都平行，故④正確．

在平面過點作直線（與不重合）,如圖

則，確定的平面都與直線都相交，由有無數(shù)條，所以過M點有無數(shù)個平面與直線都相交，故③不正確．

故選：C