Question

任意x∈[0，

π

3

]，使3cos²

x

2

+√3sin

x

2

cos

x

2

＜a+

3

2

恒成立，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：三角函數的最值,三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的求值

分析：要使3cos²

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

＜a+

3

2

恒成立，只需3cos²

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

的最大值小于a+

3

2

即可，由三角函數知識求最大值可得a的不等式，解不等式可得．

解答： 解：要使3cos²

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

＜a+

3

2

恒成立，
只需3cos²

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

的最大值小于a+

3

2

即可，
令y=3cos²

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

，x∈[0，

π

3

]，
則y=3cos²

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

=3•

1+cosx

2

+

3

2

sinx
=

3

2

cos2x+

3

2

sinx+

3

2

=

3

sin（2x+

π

3

）+

3

2

，
∵x∈[0，

π

3

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，π]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[0，1]，
∴當sin（2x+

π

3

）=1時，y=

3

sin（2x+

π

3

）+

3

2

取最大值

3

+

3

2

，
∴只需

3

+

3

2

＜a+

3

2

，解得a＞

3

故答案為：a＞

3

點評：本題考查三角函數的最值，涉及恒成立問題，屬中檔題．