Question

20．在直角坐標系中，已知圓N的圓心N（3，4），且過點A（0，4）．
（1）求圓N的方程；
（2）若過點D（3，6）的直線l被圓N所截得的弦長等于$4\sqrt{2}$，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）求出圓的半徑，即可求圓N的方程；
（2）根據題意得到直線l斜率存在，設為k，表示出直線l方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，根據r與弦長，利用垂徑定理及勾股定理列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值即可．

解答 解：（1）設圓N的方程為（x-3）²+（y-4）²=r²，
由題意知r=3，∴圓N的方程為（x-3）²+（y-4）²=9；
（2）設直線l方程為y-6=k（x-3），即kx-y-3k+6=0，
∵圓心（3，4）到直線l的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，r=3，弦長為4$\sqrt{2}$，
得${（{2\sqrt{2}}）^2}={r^2}-{d^2}$，化簡得1+k²=4，即$k=±\sqrt{3}$…（10分）

點評 此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：點到直線的距離公式，圓的標準方程，垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．