Question

如圖直角三角形ABC中，|CA|=|CB|，|AB|=3，點E₁，F分別在CA、CB上，EF∥AB，|AE|=

2

，則

AF

•

BE

=

 

．

Answer 1

分析：根據等腰Rt△ABC的斜邊|AB|=3，算出|CA|=|CB|=

3 2

2

．由|AE|=

2

且EF∥AB，可得

AE

=

2

3

AC

且

BF

=

2

3

BC

，利用向量加法法則得到

AF

=

AB

+

2

3

BC

且

BE

=

BA

+

2

3

AC

．由此可得

AF

•

BE

=（

AB

+

2

3

BC

）•（

BA

+

2

3

AC

）=-

AB

²+

2

3

AB

•

AC

-

2

3

AB

•

BC

+

4

9

BC

•

AC

，再根據向量的數量積公式分別算出

BC

•

AC

、

AB

²、

AB

•

AC

與

AB

•

BC

的值，代入前面的式子算出

AF

•

BE

=-3，從而得到答案．

解答：解：∵Rt△ABC中，|CA|=|CB|，|AB|=3，
∴|CA|²+|CB|²=|AB|²=9，可得|CA|²=|CB|²=

9

2

，|CA|=|CB|=

3 2

2

．
而AC上的點E滿足|AE|=

2

，可得|AE|=

2

3

|AC|．
又∵點E、F分別在CA、CB上，EF∥AB，
∴

|AE|

|AC|

=

|BF|

|BC|

=

2

3

，可得

BF

=

2

3

BC

，
由此可得

AF

=

AB

+

BF

=

AB

+

2

3

BC

，同理可得

BE

=

BA

+

2

3

AC

．
∴

AF

•

BE

=（

AB

+

2

3

BC

）•（

BA

+

2

3

AC

）=（

AB

+

2

3

BC

）•（-

AB

+

2

3

AC

）
=-

AB

²+

2

3

AB

•

AC

-

2

3

AB

•

BC

+

4

9

BC

•

AC

∵

BC

⊥

AC

，∠CAB=∠CBA=45°，|CA|=|CB|=

3 2

2

，|AB|=3，
∴

BC

•

AC

=0，

AB

²=

|AB|

²=9，

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cos45°=3×

3 2

2

×

2

2

=

9

2

，

AB

•

BC

=|

AB

|•|

BC

|cos135°=3×

3 2

2

×（-

2

2

）=-

9

2

．
因此，

AF

•

BE

=-

AB

²+

2

3

AB

•

AC

-

2

3

AB

•

BC

+

4

9

BC

•

AC

=-9+

2

3

×

9

2

-

2

3

×（-

9

2

）+

4

9

×0=-3．
故答案為：-3

點評：本題在等腰直角三角形中求向量的數量積，著重考查了等腰直角三角形的性質、向量的線性運算性質、向量的數量積及其運算性質等知識，屬于中檔題．