Question

如圖，三角形ABC是直角三角形，C=90°，邊AC、BC的中點分別是E、D，若

CA

=

a

，

CB

=

b

，且|

a

|=|

b

|=2.0
（1）分別用向量

a

、

b

表示

AD

和

BE

；
（2）計算AD、BE所成鈍角的大小（結果用反三角函數表示）．

Answer 1

分析：（1）利用向量的減法，即可用向量

a

、

b

表示

AD

和

BE

；
（2）由C=90°，可得

a

•

b

=0，設AD、BE所成的鈍角為θ，利用向量的數量積，即可求得AD、BE所成鈍角的大�。�

解答：解：（1）

AD

=

CD

-

CA

=

1

2

b

-

a

；（2分）

BE

=

CE

-

CB

=

1

2

a

-

b

（2分）
（2）∵C=90°，∴

a

•

b

=0
設AD、BE所成的鈍角為θ
∵|

AD

|=

5

，|

BE

|=

5

（2分）
∴cosθ=

AD • BE

| AD || BE |

=

( 1 2 b - a )•( 1 2 a - b )

| AD || BE |

=-

4

5

＜0，
∴θ=π-arccos

4

5

．
所以AD、BE所成鈍角的大小為π-arccos

4

5

（2分）

點評：本題考查向量的運算，考查向量的夾角，正確運用向量的數量積是關鍵．