Question

在圓x²+y²=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當點P在圓上運動時，設(shè)線段PD的中點M的軌跡為C
（1）寫出點M的軌跡C方程；
（2）設(shè)直線y=kx+2與軌跡C交于A，B兩點，當k為何值時，

OA

⊥

OB

？

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,軌跡方程

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）設(shè)M（x，y），則P（x，2y），代入圓的方程，化簡整理即可得到所求方程；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，得到x的方程，運用判別式大于0，韋達定理，結(jié)合向量垂直的條件：數(shù)量積為0，化簡整理解方程可得k．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），則P（x，2y），
代入圓P所在的方程可得：x²+4y²=4，
即有點M的軌跡C的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）由

x2 4 +y2=1 y=kx+2

，聯(lián)立整理得：
（4k²+1）x²+16kx+12=0，
△＞0即（16k）²-48（1+4k²）＞0，解得k2＞

3

4

，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x1+x2=- 16k 4k2+1 x1x2= 12 4k2+1

，
又因為

OA

⊥

OB

，有x₁x₂+y₁y₂=0，
即有x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
即（1+k²）•

12

1+4k2

-

32k2

1+4k2

+4=0，
解得k2=4＞

3

4

，
所以k=±2．
則當k為±2時，

OA

⊥

OB

．

點評：本題考查軌跡方程的求法：代入法，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達定理，考查向量垂直的條件，考查運算能力，屬于中檔題．